使用四探針法計算薄層電阻的原理

薄層電阻(也稱為表面電阻或表面電阻率)是一種常見的電學性質，用于表征導體和半導體材料薄膜。它是通過薄正方形材料的橫向電阻的量度，即正方形對邊之間的電阻。與其他電阻測量相比，薄層電阻的主要優勢在于它與正方形的大小無關，因此可以輕松比較不同的樣品。

這一特性可以很容易地用四點探針并且在高效鈣鈦礦光伏器件的制造中是至關重要的，其中需要低薄層電阻材料來提取電荷。

薄層電阻的應用

薄層電阻是任何薄膜材料的一個重要特性，電荷將在薄膜中傳播(而不是通過)。例如，薄膜器件(如鈣鈦礦太陽能電池或有機發光二極管)需要導電電極，其厚度通常在納米至微米范圍內。下圖顯示了電荷如何在LED設備內移動。電極必須橫向傳輸電荷，并需要低薄層電阻以減少該過程中的損耗。當試圖擴大這些設備的尺寸時，這變得更加重要，因為電荷在被提取之前必須沿著電極行進更遠。

此外，如果已知薄層電阻和材料厚度，則可以計算電阻率和電導率。這使得材料的電氣特性，純粹是通過采取薄層電阻測量。

測量薄層電阻的四探針法

一般理論

測量薄層電阻的主要技術是四探針法(也稱為開爾文技術)，使用四點探針。四點探針由四個等距、共線的電探針組成，如下圖所示。

它通過施加DC電流(I)并測量內部兩個探針之間的電壓降。

薄層電阻方程

然后，可以使用以下公式計算薄層電阻:

Rs是薄層電阻，△V是內部探針之間測得的電壓變化，I是外部探針之間施加的電流。薄層電阻通常用單位Ω/m2(歐姆每平方)來測量，以區別于體電阻。

應當注意，該等式僅在以下情況下有效:

被測材料的厚度不超過探針間距的40%

樣本的橫向尺寸足夠大

如果不是這樣，那么就需要幾何校正系數來說明樣品的大小、形狀和厚度。該因子的值取決于所使用的幾何圖形。

如果被測材料的厚度已知，那么薄層電阻可用于計算其電阻率:

這里，ρ是電阻率，t是材料的厚度。

消除接觸電阻

使用四點探針進行電氣表征的主要優點之一是測量中消除了接觸電阻和導線電阻。下圖顯示了四點探針測量的電路電阻..

施加的電流I通過外部探針進入和離開樣品，并流過樣品。電壓表通常具有高電阻，以防止它們影響被測電路，因此沒有電流流過內部的兩個探頭。僅測量內部探針之間的電壓，這意味著線電阻(RW2和RW3)和接觸電阻(RC2和RC3)對測量沒有貢獻。任何測得的電壓下降(△V)將因此來自樣本電阻(RS2).這簡化了薄層電阻方程，因此只有△V和施加的電流來求的值RS2(即薄層電阻)。

幾何校正系數

雖然上述薄層電阻公式與樣品的幾何形狀無關，但這僅適用于樣品明顯大于(通常尺寸為探針間距的40倍)且樣品薄于探針間距的40%的情況。如果不是這種情況，探針之間可能的電流路徑會受到靠近樣品邊緣的限制，從而導致對薄層電阻的高估。為了說明這種差異，需要一個基于樣品幾何形狀的校正系數。

本指南中的所有校正系數均來自Haldor Tops?，四點電阻率測量中的幾何因素, 1966.

圓形樣品

對于直徑的圓形樣品d，在樣品中心測量，可使用以下公式計算校正系數:

在這里s是探針之間的距離。為d >> s該方程趨于一致，使得能夠使用未校正的方程。

矩形樣本

對于矩形樣品，幾何校正系數的確定稍微復雜一些，因為沒有方程。取而代之的是經驗決定的校正表因素已使用。此表中的值僅適用于探針接觸樣品中心，并平行于樣品最長邊緣(l)，如下圖。

例如，假設上圖所示的矩形樣本有一條長邊l= 20毫米，短邊w= 10毫米，所用探針的間距為s= 2 mm。在這種情況下，l / w= 2且w / s= 5，因此在表中搜索滿足這兩個值的校正系數，沿著列查找l / w= 2，行為w / s= 5，即C= 0.7887.將測得的薄層電阻乘以該值，得到樣品的正確值。

并不是每個樣本都能歸入這些類別。如果是這種情況，建議使用三次樣條插值來估計樣本的適當校正系數。

值得注意的是，上述圓形和矩形樣品的校正系數僅適用于在中進行的測量樣本中心。如果測量值不在中心，則需要不同的校正系數。

其他形狀和探針位置

對于不同的樣品形狀和不在樣品中心進行的測量，需要替代的校正系數。其中大部分可以在Haldor Tops?找到，四點電阻率測量中的幾何因素，1966年，或者F. M .史密茨，用四探針測量薄層電阻率貝爾系統。技術?！秶H法院判例匯編》，1958年5月，第711頁。

如果樣品的形狀不規則，考慮它是更接近矩形還是圓形，然后估計樣品中適合的形狀大小。

厚樣品

如果被測樣品的厚度大于探針間距的40%,則需要額外的校正系數。所使用的校正因子取決于樣品厚度的比率(t)與探針間距(s)以及下表中列出的一些可能值:

與矩形樣本一樣，如果t / s不等于表中給定的值之一，建議使用三次樣條插值來估計樣本的適當校正因子。

四點探針方程推導

為了確定如何使用四點探針測量薄膜的薄層電阻，必須首先評估一個簡化的方案。想象一個任意尖銳的探針接觸并注入電流(通過施加電壓)到一個半無限體積(除了朝向探針的方向，所有方向都是無限的)的導電材料中。

電流通過等電位的同心半球殼從接觸點向外傳播，每個等電位的同心半球殼具有電流密度(J)的:

在那里r是距探頭的徑向距離(2πr2是半球的表面積)。通過應用歐姆定律(E = ρJ)每個外殼上的電場等于外殼厚度上的電壓降，或-δV/δr(這一項是負的，因為電壓隨r)，并且隨著殼的厚度趨向于零，獲得下面的方程:

這可以集成在r和r '獲得:

通過應用邊界條件V接近零r接近無窮大時，等式簡化為:

現在想象有四個任意尖銳的探針(標為1到4)與半無限導電材料接觸，它們以相等的間距排成一行(s).它們被設置成使電流通過探針1注入并被探針4收集。如果假設每個探針的邊界條件相同，則任意點的電壓等于每個探針單獨產生的電壓之和，即:

在哪里r1和r4分別是距離探針1和探針4的徑向距離。然后測量探針2和3之間的電壓。使用上述等式，探針2和3的電壓為:

因此，電壓的變化(δV探頭2和3之間的)是:

因此，探針之間的電阻率為:

這個表達式只適用于半無限體積的情況，而不適用于薄膜的情況。然而，使用類似的分析可以導出新的表達式。如前所述，想象任意尖銳的探針接觸并向具有厚度的材料薄膜中注入電流t.

在這種情況下，電流在等電位的短圓柱殼中遠離探頭(通過材料),每個殼的電流密度為:

通過應用與前面相同的電場條件(歐姆定律和殼厚度趨于零)，每個殼上的電場為:

電阻率已經被定義為薄層電阻乘以材料的厚度，因此可以在上面的等式中進行替換，得到:

這可以集成在r和r '獲得:

與之前不同的是，由于無窮大的自然對數不為零，所以不能假設當r趨近于無窮大時電壓趨于零。然而，這并不影響分析，因為不同點的電壓差(δV)是四探針測得的值。

現在想象四探針系統與薄膜接觸，附加條件是薄膜的厚度(t)與探針間距相比可以忽略不計(s).對于由探針1注入并由探針4收集的電流，等式變為:

因此，探針2和3測得的電壓為:

因此，電壓變化為:

其可以被重新排列以給出:

因此

，通過測量內部探針之間的電壓變化和外部探針之間施加的電流，我們可以測量樣品的薄層電阻。